Les formules d’addition en trigonométrie reposent sur quatre identités. Deux pour le cosinus, deux pour le sinus. Le mnémonique « cos cos sin sin » résume la structure de cos(a + b) et cos(a – b), tandis que « sin cos cos sin » couvre sin(a + b) et sin(a – b). La difficulté réelle ne se situe pas dans la mémorisation brute de ces expressions, mais dans la gestion des signes au moment de les appliquer.
Tableau récapitulatif des formules d’addition pour cos et sin
Avant d’analyser les pièges, un tableau synthétique permet de visualiser la symétrie entre les quatre formules. Le point d’attention se concentre sur la colonne « signe central » : c’est là que la majorité des erreurs se produisent.
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| Formule | Développement | Signe central |
|---|---|---|
| cos(a + b) | cos a cos b – sin a sin b | – |
| cos(a – b) | cos a cos b + sin a sin b | + |
| sin(a + b) | sin a cos b + cos a sin b | + |
| sin(a – b) | sin a cos b – cos a sin b | – |
La régularité saute aux yeux : le signe central du cosinus est inversé par rapport au signe de l’angle, alors que celui du sinus le conserve. Ce constat constitue le premier mémo visuel fiable.
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Le piège des signes : pourquoi confondre cos cos sin sin en exercice
Le schéma « cos cos sin sin » décrit l’ordre des fonctions dans le développement de cos(a ± b). Sous pression, beaucoup d’élèves retiennent cet ordre mais appliquent le mauvais signe central. La raison est mécanique : le cerveau associe « + » dans l’angle à « + » dans le développement.
Pour le sinus, cette association fonctionne. Pour le cosinus, elle produit systématiquement une erreur. Cos inverse son signe, sin garde le sien : cette phrase de six mots remplace des pages de démonstration au moment d’un contrôle chronométré.
Tester la règle sur des valeurs connues
Un moyen de vérifier qu’on applique le bon signe : poser a = b dans cos(a + b). On obtient cos(2a) = cos²a – sin²a. Si le signe central avait été « + », on aurait cos²a + sin²a = 1, ce qui donnerait cos(2a) = 1 pour tout angle. L’absurdité du résultat confirme que le « – » est correct.
Le même test avec sin(a + b) et a = b donne sin(2a) = 2 sin a cos a. Le signe « + » est cohérent. Vérifier avec a = b prend dix secondes et élimine le doute.
Formule mère et dérivation : cos(a + b) comme point de départ unique
Les quatre formules d’addition ne sont pas indépendantes. Partir de cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b suffit pour retrouver les trois autres par substitution.
- Remplacer b par -b dans cos(a + b) donne cos(a – b), puisque cos(-b) = cos b et sin(-b) = -sin b. Le signe central devient « + ».
- Utiliser la relation sin(x) = cos(π/2 – x) transforme sin(a + b) en cos(π/2 – a – b), puis le développement de ce cosinus produit sin a cos b + cos a sin b.
- Remplacer ensuite b par -b dans sin(a + b) fournit sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
Cette approche réduit la charge de mémorisation à une seule formule d’addition et deux propriétés de parité (cos pair, sin impair). Le reste se reconstruit en quelques lignes.
Extension à la tangente
La formule tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 – tan a tan b) se déduit directement en divisant sin(a + b) par cos(a + b). Le signe au dénominateur est l’inverse de celui du numérateur, ce qui crée un nouveau piège symétrique.
Pour tan(a – b), le numérateur porte un « – » et le dénominateur un « + ». La logique reste la même : le dénominateur de la tangente inverse le signe du numérateur.
Formules produit-somme et somme-produit : le prolongement opérationnel
Les formules d’addition ouvrent la porte aux transformations produit-somme, un outil distinct mais directement lié. En additionnant cos(a + b) et cos(a – b), on obtient 2 cos a cos b. En les soustrayant, on isole 2 sin a sin b.
Ces identités servent à linéariser des produits trigonométriques, une opération fréquente en physique (analyse de signaux, interférences) et en prépa pour simplifier des intégrales. Les résultats sont les suivants :
- cos a cos b = (1/2)[cos(a – b) + cos(a + b)]
- sin a sin b = (1/2)[cos(a – b) – cos(a + b)]
- sin a cos b = (1/2)[sin(a + b) + sin(a – b)]
La structure reste cohérente avec le tableau initial. Les formules produit-somme ne sont pas un bloc supplémentaire à mémoriser : elles découlent mécaniquement de l’addition et de la soustraction des formules de cos et sin.
Mémo visuel pour les formules de duplication
Poser b = a dans les formules d’addition produit les identités de duplication. Cos(2a) admet trois écritures équivalentes grâce à la relation cos²a + sin²a = 1 :
| Écriture | Formule | Usage typique |
|---|---|---|
| Forme 1 | cos²a – sin²a | Développement direct |
| Forme 2 | 2cos²a – 1 | Linéarisation en cos |
| Forme 3 | 1 – 2sin²a | Linéarisation en sin |
Sin(2a) = 2 sin a cos a n’a qu’une seule forme. Cette asymétrie entre cosinus (trois écritures) et sinus (une seule) est elle-même un repère visuel utile.
Retenir que cos(a + b) est la formule mère, que le cosinus inverse le signe de l’angle et le sinus le conserve, et que la vérification par a = b prend quelques secondes : ces trois points couvrent la quasi-totalité des situations d’examen. Le reste se reconstruit, à condition de maîtriser la parité de cos et sin et la relation fondamentale sin² + cos² = 1.
