Dans le domaine de l’optique, la position de C et F sur l’axe principal d’un miroir concave ne suit pas toujours l’intuition. La distance séparant le centre de courbure (C) du foyer principal (F) obéit à une relation mathématique stricte, souvent source de confusion pour les débutants.
Les erreurs d’interprétation sur le rôle précis de chacun de ces points conduisent régulièrement à des calculs incorrects de distances focales ou de tailles d’images. Une compréhension rigoureuse des propriétés géométriques permet d’éviter ces pièges.
Pourquoi les miroirs concaves occupent une place centrale en optique
Le miroir concave ne se contente pas de réfléchir la lumière : il la rassemble, la concentre, ce qui le rend incontournable dans de nombreux systèmes optiques. Contrairement à un miroir plan qui, lui, renvoie simplement une image virtuelle à une distance symétrique de l’objet, le miroir concave a le pouvoir de générer aussi bien des images réelles que virtuelles. Tout dépend de la distance entre l’objet, le foyer et le centre de courbure.
Les miroirs sphériques, qu’ils soient concaves ou convexes, sont organisés autour de leur axe optique : chaque rayon lumineux y trouve sa trajectoire, chaque point sa place. Les calculs s’appuient sur l’approximation de Gauss : seuls les rayons proches de l’axe principal, les paraxiaux, sont réellement pris en compte. Grâce à cette restriction, on parvient à un stigmatisme et un aplanétisme qui, sans être parfaits, restent acceptables pour la plupart des usages.
Les différences avec le miroir plan ou convexe ne s’arrêtent pas là. Le miroir concave ouvre la porte à des effets d’optique inédits : images agrandies, réduites, inversées ou droites… Sa surface courbe concentre les rayons lumineux vers un point focal, ce qui permet une infinité de configurations, tout dépend de la position de l’objet face au miroir.
Voici trois caractéristiques à garder en tête pour bien cerner la logique des miroirs sphériques :
- Le miroir sphérique n’est parfaitement stigmatique que pour un point placé en C.
- On distingue le miroir concave (SC < 0) du miroir convexe (SC > 0).
- Le foyer se situe à mi-distance entre le sommet et le centre de courbure.
Cette capacité à contrôler précisément la lumière, à produire des images multiples selon les besoins, explique pourquoi le miroir concave s’impose dans l’étude théorique comme dans la pratique, de la recherche fondamentale jusqu’à l’imagerie médicale.
À quoi correspondent les points C et F sur un miroir concave ?
Deux points structurent l’analyse d’un miroir concave : le centre de courbure (C) et le foyer principal (F). Le centre de courbure correspond au centre de la sphère dont le miroir est un fragment. Il se trouve sur l’axe optique à une distance égale au rayon de courbure (R) à partir du sommet du miroir (S). Ce point C sert de référence pour toute la géométrie du système : on qualifie un miroir de concave si SC < 0.
Entre S et C, le foyer F trouve sa place. Ce point, exactement à mi-chemin, occupe une fonction centrale : c’est le foyer principal image. Tout rayon incident parallèle à l’axe optique, après réflexion, passe par F. Inversement, un rayon qui traverse F ressort parallèle à l’axe. La distance focale (f) relie S à F selon la relation f = R/2, un rapport fondamental pour toutes les constructions d’images.
Cette distinction entre C et F structure la classification des images possibles. Si une source ponctuelle est placée en C, le miroir sphérique forme une image en C, sans déformation : c’est le seul cas de stigmatisme exact. Au niveau du foyer F, la convergence des rayons parallèles à l’axe introduit la notion de foyer secondaire pour les rayons qui arrivent hors de l’axe principal.
Pour résumer les rôles respectifs de ces points :
- C : centre de la sphère dont le miroir est issu, aligné sur l’axe optique.
- F : foyer principal, situé à mi-chemin entre S et C, point d’intersection des rayons parallèles à l’axe après réflexion.
- f : distance focale, qui vaut la moitié du rayon de courbure.
Rayons principaux : comprendre leurs trajectoires et leur rôle
La trajectoire des rayons lumineux sur un miroir concave ne doit rien au hasard : elle découle des lois de Descartes et de l’approximation de Gauss. On se restreint ainsi aux rayons paraxiaux, ceux qui restent proches de l’axe optique, pour simplifier les analyses et garantir une image nette.
Trois rayons principaux servent de base à la construction géométrique :
- Le rayon incident parallèle à l’axe optique : après réflexion, il traverse le foyer principal F.
- Le rayon passant par le foyer F : il ressort du miroir parallèlement à l’axe optique.
- Le rayon passant par le centre de courbure C : il se réfléchit sur lui-même, puisqu’il frappe le miroir perpendiculairement à la surface.
L’intersection de ces rayons, une fois réfléchis, détermine l’emplacement et la nature de l’image obtenue : réelle si elle se forme du côté de l’objet, virtuelle si elle apparaît derrière le miroir. L’approximation de Gauss, toujours, permet de négliger les aberrations trop éloignées de l’axe principal.
Pour relier précisément la position de l’objet à celle de son image, on utilise la relation de conjugaison : 1/SA + 1/SA’ = 2/SC = 1/f. Ce calcul s’impose dès qu’il s’agit d’analyser un système optique centré basé sur un miroir concave.
Visualiser la formation de l’image : un exemple concret pour tout saisir
Considérons un objet réel, par exemple une flèche, placé devant un miroir concave dont le centre de courbure (C) et le foyer principal (F) sont connus. Si l’objet est situé au-delà du centre de courbure, la lumière qu’il émet (ou réfléchit, s’il n’est pas source primaire) arrive sur le miroir selon diverses directions : certains rayons sont parallèles à l’axe optique, d’autres passent par le foyer, d’autres encore visent C. Chaque rayon suit une règle simple : celui qui arrive parallèle à l’axe repart en passant par F, celui qui traverse F ressort parallèle à l’axe, celui qui passe par C revient sur sa trajectoire initiale.
L’image réelle de l’objet se forme exactement là où ces rayons se croisent après réflexion. Sa position se calcule avec la relation de conjugaison : 1/SA + 1/SA’ = 2/SC = 1/f, où S désigne le sommet du miroir, A la position de l’objet, A’ celle de l’image. Le résultat : une image inversée, plus petite et située entre le centre de courbure et le foyer. Si l’objet s’approche du miroir, entre le foyer et le sommet, l’image bascule : elle devient virtuelle, droite, agrandie, et paraît se trouver derrière le miroir.
Le grandissement transversal permet d’anticiper le rapport de taille entre l’objet et son image, grâce à la formule A’B’/AB. La position de l’objet par rapport à C et F influe directement sur ce rapport et, par là même, sur les usages possibles : on retrouve ce principe dans les télescopes, mais aussi dans certains dispositifs médicaux sophistiqués. Miroir concave, miroir magique ? Non, mais l’ingéniosité de sa géométrie a de quoi fasciner, tant elle transforme la lumière en images multiples et précises.
